Av Christine Liebendörfer
En karakteristisk period i matematik, årskurs 5, är frihandsgeometrin. Nedan följer bland annat det som skrivits om geometri i Lgr11, Waldorfskolans kursplan En Väg Till Frihet (2016) samt från boken Waldorfpedagogik (2013).
Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets beslutsprocesser.
Lgr 11
I frihandsgeometri övar barnen konstruktion av geometriska objekt, olika slags trianglar och fyrhörningar, hexagoner och oktagoner i givna cirklar. Barnen har nu haft formteckning i fyra år och är väl bekanta med raka och böjda streck, löpande former, spegelformer och flätmönster. Frihandsgeometrin kan ses som en naturlig avrundning av formteckningen. I årskurs 6 blir det geometri med hjälp av linjal, passare och gradskiva. Men i årskurs 5 ritar barnen med en förbluffande säkerhet geometriska former på helt fri hand. Att utan hjälpmedel teckna de geometriska figurerna kräver stor koncentration, och är en mycket god förövning inför den exakthet som redskapen kan ge. Frihandsgeometrin blir ett värdigt slut på formteckningen, ett av waldorfskolans mest karakteristiska ämnen.
Waldorfpedagogik (2013)
Enligt min erfarenhet är det här en ordningsföljd som innebär en progression där det blir mer avancerat för varje steg:
- Cirkel med många cirklar ritas utifrån och in
- Cirkel med många cirklar ritas inifrån och ut
- Cirkel en liten ”pärla” och sedan cirklar som ”skikt av pärlemor”
- Cirkel innehållande cirklar med olika storlek ”såpbubblor”
- Cirkel med kvadrat som står på sidan, sedan mindre och mindre kvadrater
- Cirkel som står på en spets, sedan mindre och mindre kvadrater
- Cirkel med tolvstjärna, 3 fyrkanter
- Cirkel med tolvstjärna, 4 trianglar
- Cirkel med 2 femstjärnor som bildar en tiostjärna
- Cirkel med sjustjärna
Metodik
Frihandsgeometrierioden kan med fördel läggas upp så den första halvan av morgonlektionerna, ca 40 min, ägnas åt räkning. Begrepp som linje, sträcka, kvadrat, rektangel, triangel, vinklar och area behöver befästas. Självklart används linjal och gradskiva vid räkneuppgifterna.
Den andra delen av morgonlektionerna får eleverna öva sig att på fri hand rita alltmer komplicerade former och färglägga dem. Alla former utgår från cirkeln. Om det finns små griffeltavlor att tillgå är det bra att öva innan formerna ritas in i periodhäftet. Några av formerna kan eleverna rita på större papper – det lyser upp klassrummet med färgglada geometriska former på väggarna.
När alla eleverna kommit igång med dagens form passar det bra med högläsning ur en kapitelbok. Det blir en lugn och rofylld stämning när eleverna färglägger sina formteckningar.
Färgläggningen är en viktig del i frihandsgeometrin. Med färger kan nya former träda fram.
Små och försiktiga rörelser med pennorna. Inga förhastade och okontrollerade pennstreck. Det kan vara tålamodsprövande för en del elever att på ett noggrant sätt, under stor koncentration färdigställa en geometrisk form. Försök hinna med att titta på alla elevernas former innan de börjar färglägga, då kan de få hjälp med att korrigera till exempel avstånd och cirklar. Koordinationen öga – hand, avståndsbedömning och på ett estetiskt sätt arbeta med geometri ger en bra jämnvikt i ämnet matematik mot mer teoretisk räkning.
I årskurs 5 tas steget från formteckning till frihandsgeometri. Att på fri hand teckna polygoner, cirklar med mittpunkt, korda, tangent, diagonal och radie, och att utifrån geometriska beräkningar t.ex. komma fram till hur stor en vinkel är, utvecklar abstraktionsförmåga och det logiska tänkandet. Det bereder också vägen för en större förståelse för de matematiska begreppen, när hjälpmedel som passare och gradskiva sedan introduceras på allvar. Formteckning kan integreras med både matematik och historia, Sumerernas talindelning och astronomiska beräkningar kan kittla fantasin och främjar elevernas kreativitet.
En Väg Till Frihet (2016)
Frihandsgeometrin kan med fördel läggas efter en period med mycket skrivande. Läraren behöver inte berätta annat än det som rör själva konstruktionen av formerna. Det är däremot viktigt att gå igenom de olika momenten som vinklar, area, omkrets etc.
För att bli säker på någonting som att spela piano, åka skateboard eller räkna behöver eleverna öva (läs om läxor på waldorfbloggen.se). Själva undervisningstiden är otillräcklig för att öva så mycket så att kunskaperna befästs. Därför är en läxa i matematik varje vecka viktig. Läxor som alltid ges från samma dag i veckan till nästa vecka (också samma dag) är lättast att komma ihåg. Att läxorna gjorts kontrolleras med ett kort, skriftligt läxförhör. Ett par tal från läxan visar tydligt vilka elever som gjort läxan. Att samla in alla läxböcker kan göras ibland, men i regel räcker ett kortare förhör.
På de löpande timmarna i matematik utvecklas teman från de tidigare årskurserna. De flesta klasser har nu en lärobok i ämnet och kan räkna efter egen förmåga och nivå. Det är viktigt att även högpresterande och begåvade barn i ämnet får känna att de utvecklas och går vidare. I matematik är det inte speciellt svårt att få till individuella uppgifter. Lika självklart som det är att se till att elever med långsam inlärningsförmåga får hjälp i matematik, lika viktigt är det att tillgodose snabba elever. Det är det som kallas individualiserad undervisning!
Waldorfpedagogik (2013)
Geometri Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess användning i vardagliga situationer. Symmetri i vardagen, i konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras. Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkelmed vanliga måttenheter. Mätningar med användning av nutida och äldre metoder
Lgr11
Horisontella och vertikala linjer… 
…skapar ett rutmönster 
Strålat inifrån och ut och utifrån och in
Didaktik
Världen är full av vackra former och mönster. Berätta för eleverna om bikupans vaxkakor med sexkantiga former, rosväxternas 5-symmetri, liljornas 3-symmetri och andra karakteristiska former. Rita på svarta tavlan, visa Powerpoint och varför inte en kortfilm.
Gör en utflykt med klassen och titta på symmetri i naturen. Anknyt formerna till frihandgeometrins uppgifter. Finns det geometriska former bland skolans byggnader?
Varför är det viktigt att öva öga – handkoordinationen? När kan man ha nytta av det i livet?
Vilka yrken använder sig av öga – handkoordinationen? Eleverna är nu så stora, de flesta är 11 år fyllda och står på tröskeln till tonåren. De är nyfikna och vetgiriga och vill bli tagna på allvar. En samtalsstund varje lektion kan tillföra ämnet både djup och mening. För att alla elever ska få chans att delta, bestäm ett antal elever (utan att tala om det) varje lektion som du särskilt frågar. Dokumentera hur eleverna uttrycker sig. Som bekant är en av deluppgifterna i de Nationella proven att tala om matematik.
Geometriska figurer kan också övas i storform. Tag hjälp av klassens eurytmilärare och öva olika former både inne och ute. Är det snö? Perfekt – då kan formerna stanna kvar en stund.
Att göra mandalas är kanske känt – men att göra former i frihandsgeometrin av små stenar, pinnar eller nypon och fotografera av dem går också bra. Digital bildbearbetning och hantera datorn är också ett ämnesområde i årskurs 5
Låt eleverna ”rita” former på varandras ryggar. Hur många cirklar, hur många raka streck, är det en triangel, kvadrat eller romb?
Formförvandling är väl känt i eurytmin men kan också praktiseras i geometrin. Förvandla en romb till en kvadrat, en cirkel till en triangel i små steg etc.
Frihandsgeometri kan vara så mycket mer än bara rita former på ett papper. Waldorflärare är generellt inte så bra att dela med sig till varandra om hur de gör. Däremot är de bra på att tala om vad de gör. Läraryrket består mycket av hur. Det är sällan som lärare kan besöka varandra i undervisningen. Desto viktigare att beskriva för varandra. Studiet på skolornas kollegium skulle kunna innehålla mer samtal om hur vi gör!
